深究是一种重要的思想方法和学习方法。
教师充分挖掘课本习、例题的潜能，不仅能开拓学生的解题思路，激发学生的学习兴趣，而且还能有效地 开拓学生的能力，提高教学质量。
一、变形创新，培养思维转换能力
思维转换能力是指：由一种思维对象转移到另一种思维对象，由一种思维方式过渡到另一种思维方式的能 力，也就是通常所说的思维的灵活性。适当地把问题引伸、变形，对于调动学生的学习兴趣，学习的积极性和 主动性，激发学生的求知欲望，拓宽解题思路、培养思维转换能力，有着重要意义。如：
例1，如图1，MN是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，求证：点A，B与MN的距离和等于⊙O的直径。（《几何》第 三册P116第8题）
（附图 {图}）
图1
此题是很普通的习题，但经过深究，不难发现它的内涵之丰富。
（一）解题方法
1.连结OC，证明半径OC是直角梯形的中位线。
2.过C作CG⊥AB，连结AC、BC，证明△ADC≌△AGC，△BEC≌△BGC得AD=AG，BE=BG
BE AD OC
3.如图2，连结OC，延长AB交MN于P，显然sinP=──=──=──
PB PD OP BE+AD OC BE+AD OC───=── ，即 ───=──PB+PD OP 2OP OP
从而 BE+AD=2OC
（附图 {图}）
图2
（二）变形创新
如果MN不是切线，而是割线，则有
例2，如图3，AB是⊙O的直径，MN交⊙O于E、F（E、F在AB的同侧）两点，AD⊥MN，BC⊥MN，垂足分别为D、 C，连结AF、AE，设AD=a，CD=b，BC=c，求证：tg∠DAF和tg∠DAE是方程：ax[2,]-bx+c=0的根
DF+DE DF+DE
证明：①证tg∠DAF+tg∠DAE=───= ────
AD a
b
②过O作OG⊥EF，证DF=CE，得tg∠DAF+tg∠DAE=── ，
a
BC
③连结BE，证 ∠CEB=∠DAE，tg∠DAE=tg∠CEB=── ，得
CE
c
tg∠DAF·tg∠DAE=tg∠DAF·tg∠CEB=──结论已明。
a
（附图 {图}）
图3
二、创设反面，培养逆向思维能力
所谓逆向思维，就是与原有的思维方向完全相反的思维。逆向思维能有效地打破思维定势，启动思维转换 机制。当我们的思维陷入某种困境时，逆向思维往往使人茅塞顿开。因此，创设命题的逆命题，是深究问题的 又一重要方面。如：
例3，如图4，Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为3cm和4cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，求： BD的长。（《几何》第三册P128第2题）
（附图 {图}）
（附图 {图}）
图4
此题是很简单的解答题，但经深究，可创设：
命题：如图5，Rt△ABC中，两条直角边是AC、BC，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，过D作圆的切线，交 BC于E，求证：E是BC中点。
证明：连结CD、OD，证EB=ED
从而得：E是BC中点。
（附图 {图}）
图5
逆命题：BC、AC是Rt△ABC的两条直角边，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D，E是BC中点，求证：DE是圆的 切线。
证明：连结OD、CD、OE，证△ODE≌OCE∠ODE=∠OCE=90°，结论得证。
充分挖掘这种习、例题的潜能，创设新颖课题，使学生在积极的探究中学到了知识，发展了智力，提高了 能力。
三、由此及彼，培养思维的广阔性
思维的广阔性，也称为思维的广度，是指思路的宽广，富有想象力，善于从多角度、多方向、多层次去思 考问题，认识问题和解决问题。
数学习题浩如烟海，如何从“题海”中解脱出来，提高教学能力呢？这就要求我们对课本的习、例题不仅 仅满足于具体方法，而应该挖掘题目中的丰富内涵，训练学生思维的灵活性、广阔性，提高逻辑思维能力和发 展创造能力。如：
例4，如图6，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于D，求证：DE=DB。（《几何》第三 册P117第12题）
证明：连结BE，证∠BED=∠DBEDE=DB。
（附图 {图}）
图6
例5，如图7，△ABC中，∠A和∠B的平分线相交于I，AI交边BC于D，交△ABC的外接圆于点E，求证；IE[2, ]=AE·DE。
证明：连结BE，证△BED∽△AEBBE[2,]=AE·DE，再证IE=BE，即得：IE[2,]=AE·DE。
（附图 {图}）
图7
例6，如图8，△ABC中，∠A的平分线交BC于F，交△ABC的外接圆于D，连结BD，过D作△ABC的外接圆的切线 ，交AC的延长线于E，如果AB:AC=3:2，BD=3，DE+EC=6，求：BF的长。
（附图 {图}）
图8
解：连结CD，证BD[2,]=BF·DE，
36-2EC
再证AC= ─── ，
EC
12
后证AC= ──，从而求得：BF=4.5。
EC
如果AD不是∠A的平分线，而是△ABC外接圆的直径，那么有
例7，如图9，AE是△ABC外接圆的直径，AE交BC于D，求证：tgB·
ADtgC=──
DE
证明：连结BE、CE，
AC
证tgB=tgCEA=──
CE
AB
tgC=tgBEA=──
BE
AD AB·AC AD
再证──=──── ，从而得tgB·tgC=──
DE BE·CE DE
（附图 {图}）
图9
如上所述，抓住题目的特征，适当的演变、引伸、拓宽，不仅沟通了知识间的内在联系，使学生思维活动 始终处于一种由浅入深，由此及彼，由一题到一路的“动态”进程之中，而且充分调动了学生学习的积极性和 主动性，激发了他们的求知欲望和学习兴趣，进一步发展了思维能力。
四、抛砖引玉，特殊试探，发展智力，提高能力
为了解题的需要，用一些特殊的数、式、图形位置试探，从而获得解题思路。如：
例8，如图10，△ABC中，∠A的平分线和外接圆相交于D，BE是圆的切线，DF⊥BC，DG⊥BE，垂足分别为F， G。
(1)求证：DF=DG（《几何》第三册P131第6题）。
(2)设R是BD上一点（不包括点B）。
求证：S△RGB:S△RBC=1:2
(1)证明：连结BD，证∠CBD=∠EBD，即得DF=DG。
(2)分析：这是个定值的论证，且定值为1:2，如何寻求这个定值呢？一个命题在一般情况下是正确的，则 在特殊情况下也必然正确。本题动点R在BD上，那么把点R取在点D处，DF⊥BC，垂足为F，不难证明BF:BC=1:2， 也容易证明BD是∠CBE的平分线，点R在BD上，因为点R到∠CBE两边的距离相等，所以△RBG与△RBC的面积比与 R在BD所取的位置无关，现在只要证明BG=BF。
1
证明：①证BF=── BC ，
2
②证BG=BF，
③设点R到BG、BC的距离分别为h[,1]、h[,2]，则h[,1]=h[,2]
所以，S△RGB:S△RBC=1:2。
（附图 {图}）
图10
又如例9，如图11，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于点A、B，PA=PB=4cm，∠APB=40°，C是弧AB上任 意一点，过C作⊙O的切线，分别交PA、PB于D、E。求：(1)△PDE的周长，(2)∠DOE的度数。（《几何》第三册 P133第2题）
解：连结OA、OB、OC，①证DC=DA，EC=EB，可求得△PAB的周长=PA+PB=8(cm)，②证
1 1
∠DOC=─ ∠AOC，∠EOC=─∠BOC
2 2
可求得∠DOE=70°
（附图 {图}）
图11
本题难度不大，但在原题基础上加以变换更新，能使题目新颖，更有效地培养学生的智力，提高解题能力 。如：
例10，如图12，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于点A，B，PA=PB=L，∠APB=n°，C是弧AB上任意一点 ，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，求证：△PDE的周长和∠DOE的度都为定值。
分析：定值问题中的所求“定”而无“值”，证明方向不明，这是这类问题最大的难处，如何突破这个难 关呢？可以这样引导和启发学生：C是弧AB上任意一点，那么把点C取在弧AB的中点上，射线PCO是∠APB的对称 轴，射线DO是∠ADC的对称轴，由此可得△PDE的周为定值2L，∠DOE
1的定值为90°- ──n°，那么一般地就要证明：PD+DC+CE+PE=2L
2
1和∠DOC+∠EOC=90°- ─ n°成立。从求证式的结构特征，容易想
2到，证明中必须用切线长定理。
连结OA、OB、OC
∵DA、DC分别切⊙O于A、C
1
∴DC=DA，∠DOC=─ ∠AOC，
2
1
同理：CE=EB，∠EOC=─ ∠BOC
2
∴PD+DC+EC+PE=PD+DA+EB+PE=2L
1 1
∠DOC+∠EOC=── (∠AOC+∠BOC)=90°- ── n°
2 2
1
即PD+DE+PE=2L，∠DOE=90°- ──n°，结论已明。
2
（附图 {图}）
图12
课本习、例题有丰富的内涵，对强化双基，开发智力，培养能力，有着极大的潜在价值。深入挖掘其丰富 内涵，引导学生进行适当的观察、比较、猜测、联想、引伸、拓广，由此及彼等思维训练，不仅可以把彼此孤 立的知识串联成线，联结成网，沟通成面，使学生解一题明一路，提高学习效率，而且还可以有效地培养学生 各种思维能力，提高分析问题、解决问题和探索创新的能力。 |
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